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历年高考数学重点解析必考点:树状图解染色问题

发布时间:2014-12-11 11:20 来源:麒讯达教育 阅读次数:63


排列组合是每年高考的必考内容之一。纵观全国高考试题,绝大多数问题难度适当,但也有个别问题难度较大,染色问题就是排列组合的难点之一。染色问题的难度在于平面区域之间的关系错综复杂,情况繁多,将各种情况讨论清楚的难度较大,但是高考中的染色问题存在着许多的共性,那么有没有一种方法能快捷准确地解决这一问题呢?我们可以借助图论中的相关思想解决此类问题。图论(Graph Theory)是数学的一个分支。它以图为研究对象。图论中的图是由若干给定的点及连接两点的线所构成的图形,这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系,用点代表事物,用连接两点的线表示相应两个事物间具有这种关系。

这里运用树状图解题方法来研究几道典型题。

例1

如图,一环形花坛分成A、B、C、D四块,现有4种不同的花供选种,要求在每块里种1种花,且相邻的2块种不同的花,则不同的种法总数为( )

A.96 B.84 C.60 D.48

A→B→C→D

4a→3b

1a→3

2c→2





答案解析:选B。分三类:种两种花有A42种种法;种三种花有2A43种种法;种四种花有A44种种法,共有A42+2A43+A44=84。

本题是标准的染色问题,初看标准答案,不难发现本题采用分类讨论的解法,题目中需要染色的区域不算复杂,情况不是很多,但是考生面对这一问题解决起来还是存在一定的困难。

如果我们采用树状图的方法,对于本题的理解就比较透彻。

本题种植4种不同的花,等同于用4种不同的颜色染色,说明一下a、b、c、d的作用只是为了区分颜色是否相同,不特指某种颜色。A、B、C、D四块区域的联系图如图所示。由题意可知A区域有4种颜色可供选择,故A区域用4a代表;B区域与已讨论完的A区域不同,故用3b代表;C区域与已讨论完的A区域相隔,且与B区域不同,故对C区域进行分类,分为两类:与A相同和与A不同,分别用1a和2c表示;D区域与A、C均不相同,故分别有3种和2种情况。本题情况分析完毕,算式为4×3×(1×3+2×2)=84。这样分析方便快捷,考生应易于理解与操作。

例2

某人有4种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多),要在如题(16)图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡,要求同一条线段两端的灯泡不同色,则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有 种(用数字作答)。

答案解析:216种。A1处种4种,B1处种3种,C1处种2种,则底面共4×3×2=24种。A、B1分类,A、B1同,B处3种,C处1种,则共3种;A、B1不同,A处3种,B处2种,C处1种,则共6种;有分类计数原理上底面共9种,由分步计数原理得共有9×24=216种。

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